INSEGNAMENTO

ANNO

SEM

CFU

Istituzioni di Analisi Matematica e Geometria Analitica (studenti M-Z)
corso annuale integrato

Prof. Ferdinando Casolaro

                   1° 

     I

 

 

     II 

   

    12

 

 bandiera inglesePICCOLA English

Programma di esame

Teoria degli insiemi e cenni di topologia: Proprietà degli insiemi e relative operazioni. Insiemi numerici: N, Z, Q, R. Riferimento cartesiano della retta e del piano. Rappresentazione grafica della retta e della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate e relative interrelazioni con le equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni algebriche di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali.

Topologia sulla retta: concetto di intervallo, intorno di un punto, punto di accumulazione e punto isolato. Insiemi limitati: minimo e massimo, estremo inferiore ed estremo superiore di un insieme. 

Funzioni reali di una variabile reale. Le funzioni elementari: funzioni algebriche intere e fratte, funzioni circolari e relative inverse. Funzioni logaritmiche ed esponenziali. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Funzioni composte. 

Limiti di funzioni: Definizione di limite di una funzione reale di variabile reale: limite in un punto di R, limite all’infinito. Limite destro e limite sinistro. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dell'unicità del limite, Teorema dei carabinieri. Infinitesimi e infiniti. 

Funzioni continue. Definizione e proprietà. Punti di discontinuità. Teorema  della permanenza del segno. Teorema dell’esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. 

Relativamente ai teoremi sui limiti non sono richieste le dimostrazioni teoriche ma solo giustificazione sugli aspetti grafici.

Derivate e differenziale. Definizione di derivata in un punto e di derivata in un intervallo:  significato geometrico (dim.). Teorema relativo alla continuità delle funzioni derivabili (dim.). Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. 

Applicazione delle derivate. Analisi dei punti in cui si annulla la derivata prima: condizioni di esistenza di massimi relativi, minimi relativi, flessi orizzontali. 

Teoremi di Rolle (dim.), Teorema  di Lagrange (dim.). Criteri di monotonia per le funzioni derivabili (giustificazioni grafiche). Criterio di convessità. Flessi obliqui. Punti di discontinuità della derivata: punti angolosi, cuspidi, flessi verticali. I teoremi de L’Hospital. 

Studio del grafico di una funzione. Differenziale di una funzione di una variabile e sua interpretazione geometrica (dim.). 

Integrazione secondo Riemann. Area del rettangoloide e integrale definito. Definizioni e proprietà degli integrali definiti. Il teorema della media (giustificazione grafica). 

Integrali indefiniti. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). Primitive e caratterizzazione delle primitive di una funzione (dim.). Relazione fondamentale del calcolo integrale (dim.). Primitive delle funzioni elementari fondamentali. Un cenno al calcolo di aree di figure piane. 

Funzioni di due o più variabili. 

Cenni di topologia in R2. Funzioni di due o più variabili. Cenni sul concetto di limite per funzioni di due variabili (pag. 42). Teorema di Weierstrass, teorema di esistenza dei valori intermedi (pag. 46).

Derivate parziali. Derivate successive. Matrice hessiana. Il teorema di Schwarz). Differenziale di funzioni di due variabili. Operatori differenziali: gradiente, divergenza, rotore.

Funzioni differenziabili. Equazione del piano tangente. Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. 

Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Massimi e minimi relativi: condizione necessaria del primo ordine, punti critici, punti sella, matrice hessiana, determinante hessiano, condizione sufficiente del secondo ordine. 

Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy: equazione differenziale ordinaria di ordine n, equazioni in forma normale, problema di Cauchy per un’equazione del primo ordine in forma normale. Equazioni differenziali lineari: definizione e proprietà generali. Equazioni differenziali lineari omogenee con particolare riferimento al primo ed al secondo ordine. Integrali di equazioni differenziali. Rappresentazione dell’integrale generale di un’equazione differenziale lineare.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Integrale generale delle equazioni lineari (complete) del primo ordine. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Funzioni dipendenti, indipendenti e determinante wronskiano. 

Integrale generale delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine. Problema di Cauchy per un’equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine. Caratterizzazione dell’integrale generale delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Risoluzione delle equazioni differenziali lineari complete del secondo ordine a coefficienti costanti col metodo di variazione delle costanti.

Integrali curvilinei e forme differenziali

Curve piane, curve nello spazio. Equazioni parametriche. Curve semplici. Curve chiuse. Curve regolari. Lunghezza di un arco di curva, motivazione geometrica. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei.

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale e sue proprietà. Forme differenziali esatte: relazione tra il differenziale di una funzione e la primitiva di una forma differenziale. Caratterizzazione delle primitive di una forma differenziale in un aperto connesso. Teorema di integrazione delle forme esatte. Campi vettoriali conservativi: potenziale di un campo vettoriale. 

Integrali doppi 

Domini normali. Area di un dominio normale. Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Domini regolari.

Cenni sulle formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza. Teorema di Stokes.

Testi consigliati:

[1] A. Ventre – Matematica, Parte prima – Liguori Editori.

[2] F. Casolaro – Integrali – Ed. Zanichelli.

[3] N. Fusco – P. Marcellini - C. Sbordone: Elementi di analisi 2. Ed. Liguori.

[4] P. Marcellini – C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica – I vol., parte I e II –  Ed. Liguori.